მაგალითი: გაუსის მთელი რიცხვების რგოლი Z არის სასრული გენერირებული Z-მოდული და Z არის ნოეთერიული. წინა თეორემის მიხედვით, Z არის ნოეთერული რგოლი. თეორემა: ნოეთერული რგოლების წილადების რგოლები ნოეთერიულია.
Z X ნოეთერული ბეჭედია?
ბეჭედი Z[X, 1 /X] არის ნოეთერიული, რადგან ის იზომორფულია Z[X, Y]/(XY − 1).
რატომ არის Z Noetherian?
მაგრამ Z-ში არის მხოლოდ უსასრულოდ ბევრი იდეალი, რომელიც შეიცავს I1-ს, რადგან ისინი შეესაბამება სასრული რგოლის Z/(a) იდეალებს ლემა 1.21-ით. მაშასადამე, ჯაჭვი არ შეიძლება იყოს უსასრულოდ გრძელი და ამდენად Z არის ნოეთერიული.
რა არის ნოეთერიული დომენი?
ნებისმიერი ძირითადი იდეალური რგოლი, როგორიცაა მთელი რიცხვები, არის ნოეთერიული რადგან ყველა იდეალი წარმოიქმნება ერთი ელემენტისგანეს მოიცავს ძირითად იდეალურ დომენებს და ევკლიდეს დომენებს. დედეკინდის დომენი (მაგ., მთელი რიცხვების რგოლები) არის ნოეთერული დომენი, რომელშიც ყველა იდეალი გენერირებულია მაქსიმუმ ორი ელემენტით.
როგორ დავამტკიცოთ, რომ ბეჭედი ნოეთერულია?
თეორემა რგოლი R ნოეთერიულია, თუ და მხოლოდ თუ R-ის იდეალების ყოველი არა ცარიელი სიმრავლე შეიცავს მაქსიმალურ ელემენტს დადასტურება ⇐=იყოს I1 ⊆ I2 ⊆···. R-ის იდეალების აღმავალი ჯაჭვი. ჩადეთ S={I1, I2, …}. თუ იდეალების ყველა არა ცარიელი ნაკრები შეიცავს მაქსიმალურ ელემენტს, მაშინ S შეიცავს მაქსიმალურ ელემენტს, ვთქვათ IN.
