თუ A არის m × n მატრიცა, მაშინ ATA და AAT აქვთ იგივე არანულოვანი საკუთრივ მნიშვნელობები … ამიტომ Ax არის AAT საკუთრივ ვექტორი, რომელიც შეესაბამება λ საკუთრივ მნიშვნელობას. ანალოგიური არგუმენტი შეიძლება გამოვიყენოთ იმის საჩვენებლად, რომ AAT-ის ყოველი არანულოვანი საკუთრება არის ATA-ს საკუთარი მნიშვნელობა, რითაც სრულდება მტკიცებულება.
იგივეა AAT და ATA საკუთრივ მნიშვნელობები?
AAT და ATA მატრიცებს აქვთ იგივე არანულოვანი საკუთარი მნიშვნელობები. განყოფილება 6.5 აჩვენა, რომ ამ სიმეტრიული მატრიცების საკუთრივექტორები ორთოგონალურია.
ატა იგივეა, რაც AAT?
რადგან AAT და ATA რეალური სიმეტრიულია, მათი დიაგონალიზაცია შესაძლებელია ორთოგონალური მატრიცებით. წინა დებულებიდან გამომდინარეობს (რადგან გეომეტრიული და ალგებრული სიმრავლეები ერთმანეთს ემთხვევა), რომ AAT და ATA აქვთ იგივე საკუთარი მნიშვნელობები.
აქვს თუ არა ATA-ს განსხვავებული საკუთარი მნიშვნელობები?
მართალია. მაგალითად, თუ A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , მაშინ დამახასიათებელ განტოლებას det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 არ აქვს განმეორებადი ფესვი. მაშასადამე, A-ს ყველა საკუთარი ღირებულება განსხვავებულია და A დიაგონალიზაციადია. 3.35 ნებისმიერი რეალური მატრიცისთვის A, AtA ყოველთვის დიაგონალიზაციადია.
შეიძლება სხვადასხვა საკუთრივ ვექტორს ჰქონდეს იგივე საკუთრივ მნიშვნელობა?
ორი განსხვავებული საკუთარი ვექტორი, რომლებიც შეესაბამება იმავე საკუთრივ მნიშვნელობას, ყოველთვის წრფივად არის დამოკიდებული. ორი განსხვავებული საკუთარი ვექტორი, რომლებიც შეესაბამება იმავე საკუთრივ მნიშვნელობას, ყოველთვის წრფივად არის დამოკიდებული.
