როდის არის აბელიანი ჯგუფი ციკლური?

2024 ავტორი: Fiona Howard | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-10 06:39

არაფორმალურად, ჯგუფი არის ციკლური თუ ის გენერირებულია ერთი ელემენტით. აბელიანია, თუ გამრავლება ცვლის. ჯგუფი ციკლურია, თუ მისი გენერირება შესაძლებელია ერთი ელემენტით.

აბელიანების ჯგუფი ციკლურია?

ყველა ციკლური ჯგუფი არის აბელი, მაგრამ აბელიანი ჯგუფი სულაც არ არის ციკლური. აბელიანი ჯგუფის ყველა ქვეჯგუფი ნორმალურია. აბელიან ჯგუფში, თითოეული ელემენტი თავისთავად არის კონიუგაციურ კლასში და სიმბოლოთა ცხრილი მოიცავს ერთი ელემენტის ძალას, რომელიც ცნობილია როგორც ჯგუფის გენერატორი.

როგორ დავამტკიცოთ, რომ აბელიანი ჯგუფი ციკლურია?

მტკიცებულება

1. მოვცეთ G იყოს ციკლური ჯგუფი g∈G გენერატორით. კერძოდ, გვაქვს G=⟨g⟩ (G-ში ყველა ელემენტი არის g-ის რაღაც ძალა.)
2. მოდით a და b იყოს თვითნებური ელემენტები G-ში. მაშინ არსებობს n, m∈Z ისეთი, რომ a=gn და b=gm.
3. აქედან გამომდინარე ვიღებთ ab=ba თვითნებური a, b∈G-სთვის. ამრიგად G არის აბელიური ჯგუფი.

როგორ იცით, ჯგუფი ციკლურია?

4 პასუხი. სასრული ჯგუფი არის ციკლური, თუ და მხოლოდ თუ, მას აქვს ზუსტად ერთი ქვეჯგუფი ყოველი გამყოფი მისი რიგის. ასე რომ, თუ იპოვით ერთი და იმავე რიგის ორ ქვეჯგუფს, მაშინ ჯგუფი არ არის ციკლური და ეს შეიძლება ზოგჯერ დაგვეხმაროს.

რა არის ციკლური ჯგუფი ახსენი მაგალითით?

მაგალითად, (Z/6Z)^×={1, 5} , და რადგან 6 არის ორჯერ კენტი მარტივი ეს არის ციკლური ჯგუფი. … როდესაც (Z/nZ)^× ციკლურია, მის გენერატორებს უწოდებენ პრიმიტიულ ფესვებს modulo n. მარტივი რიცხვისთვის p ჯგუფი (Z/pZ)^{× ყოველთვის ციკლურია, რომელიც შედგება p რიგის სასრული ველის არანულოვანი ელემენტებისაგან.}